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EXPERIMENTALPHYSIK II
Elektrizität und Optik
Universität Mainz
19. Vorlesung am 1.7.98

Prof. Dietrich Harrach
Übungen: Dr. Frank Maas


Date: SS 98

Hoch- und Tiefpaß

Die induktiven und kapazitiven Widerstände haben jeweils charakteristische Frequenzabhängigkeiten, während der Ohmsche Widerstand frequenzunabhängig ist. Wenn die äußere Spannung keine harmonische Zeitabhängigkeit mit nur einer Frequenz hat, sondern sich als lineare Überlagerung von harmonischen Spannungsverläufen mit unterschiedlichen Frequenzen, Amplituden und Phasen darstellen läßt. dann wirken für verschiedene Frequenzen unterschiedliche Widerstände. Die Zusammensetzung eines aus unterschiedlichen Frequenzen zusammengesetzten Signals wird dadurch verändert. Die einfachsten Anordnungen dieser Art sind frequenzabhängige Spanungsteiler, die jeweils die hohen Frequenzen (Hochpaß) oder tiefen Frequenzen (Tiefpaß) begünstigen.

Ein Spannungsteiler aus einem Kondensator und einem Ohmschen Widerstand, an dem die Ausgangsspannung abgegriffen wird, stellt einen Hochpaß dar. Die Spannung am Widerstand berechnet sich aus

\begin{displaymath} U_{R}=I\cdot R=U\frac{R}{R+Z_{c}}=U\frac{R}{R-\frac{i}{\omega C}}.\end{displaymath}

Die Amplitude der abgegriffenen Spannung beträgt

\begin{displaymath} \vert U_{R}\vert=U_{0}\cdot \frac{R}{\sqrt{R^{2}+\frac{1}{(\omega C)^{2}}}}=U_{0}\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}.\end{displaymath}

Die Ausgangsspannung steigt als Funktion von \( x=\omega RC \) zunächst von Null aus linear an, und beträgt ab \( x\approx 2 \) mehr als 90% der Eingangspannung. Die Phasenverschiebung ist auch frequenzabhängig und beträgt

\begin{displaymath} \tan \phi =-\frac{1}{\omega RC}.\end{displaymath}

Greift man jedoch die Spannung über dem Kondensator ab, für die

\begin{displaymath} U_{C}=U_{0}\frac{\frac{1}{i\omega C}}{R+\frac{1}{i\omega C}}\end{displaymath}

gilt, so ist die frequenzabhängigkeit der Amplitude durch

\begin{displaymath} \vert U_{C}\vert=U_{0}\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}\end{displaymath}

und die Phasenverschiebung durch \( \tan \phi =\omega LC \) gegeben. Die Ausgangsspannung entspricht bei tiefen Frequenzen der Eingangsspannung. Bei hohen Frequenzen geht das Verhältnis

\begin{displaymath} \frac{\vert U_{C}\vert}{U_{0}}\approx \frac{1}{\omega RC}\end{displaymath}

gegen Null. Völlig gleichwertige Filter lassen sich durch Kombination von Induktivitäten und Ohmschen Widerständen aufbauen.

Beim Anlegen einer Spannung U0(t) ist der Spannungsverlauf am Kondensator durch \( U_{C}=Q/C=\frac{1}{C}\int I\, dt=\frac{1}{RC}\int (U_{0}(t)-U_{C})dt \)gegeben, was bei kleinen Zeiten annähernd dem Integral des Eingangsimpulses entspricht. Die Schaltung wird deshalb auch Integrierglied genannt. In Analogie wird der Hochpaß auch Differenzierglied genannt.

Ein perodisches Rechtecksignal, das für die halbe Periode T/2 den Wert Null und den Wert U0 für die zweite Hälfte der Periode annimmt hat eine Fourierdarstellung

\begin{displaymath} U(t)=\frac{1}{2}U_{0}(1+\cos \omega t+\frac{1}{3}\cos 3\omega t+\frac{1}{5}\cos 5\omega t+...).\end{displaymath}

ein Tiefpaß mit der charakteristischen Übergangsfrequenz \( \omega _{0}=1/(RC)=\omega \)würde den Beitrag mit der Frequenz \( \omega \) um den Faktor \( 1/\sqrt{2} \)und den Beitrag \( 3\omega \) um den Faktor \( 1/\sqrt{10} \) schwächen.

Frequenzfilter

Bei einer Serienschaltung von Ohmschen Widerstand, Induktivität und Kapazität ist der Spannungsverlauf am Ohmschen Widerstand durch

\begin{displaymath} U_{R}=U\frac{R}{R+i(\omega L-\frac{1}{\omega C})}\end{displaymath}

gegeben. Die Amplitude der Ausgangsspannung hat den Charakter einer Resonanz mit einer Lorentzkurve

\begin{displaymath} \vert U_{R}\vert/U_{0}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^{2}}}.\end{displaymath}

Die Phasenverschiebung beträgt

\begin{displaymath} \tan \phi =\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}.\end{displaymath}

Bei der Resonanzfrequenz \( \omega _{R}=\frac{1}{\sqrt{LC}} \) entspricht die Ausgangsspannung der Eingangsspannung (Durchlaßfilter) und die Phasenverschiebung verschwindet. Bei den Frequenzen \( (\omega _{1,2}L-\frac{1}{\omega _{1,2}C})=\pm R \)(\( \omega _{1,2}=\pm \frac{R}{L}+\sqrt{\frac{R^{2}}{4L^{2}}+\omega _{R}^{2}} \))sinkt der Durchlaß auf \( 1/\sqrt{2} \).

Wenn man Spule und Kondensator zunächst parallel schaltet und den Ohmschen Widerstand in Serie , dann ist die Spannung am Widerstand durch\( \vert U_{R}\vert/U_{0}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\frac{1}{\omega L}-\omega C)^{-2}}}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+\frac{(\omega L)^{2}}{(1-\omega ^{2}LC)^{2}}}} \)gegeben. Bei der Resonanzfrequenz ist der Durchlass Null. Dies ist das sogenannte Sperrfilter . Die Phasenverschiebung ist durch\( \tan \phi =\frac{\omega L}{R\cdot (1-\omega ^{2}LC)} \)

Transformatoren

Ein unschätzbarer Vorteil für den Wechselstrom bei Transport und die Verwendung liegt in der Möglichkeit Spannungstransformatoren einzusetzen. Diese erlauben den fast verlustfreien Wechsel der Betriebsspannung. Beim Transport über das Leitungsnetz werden Spannungen von bis zu 150 kV verwendet. Bei konstantem Leitungswiderstand R und übertragener Leistung N ist die relative Verlustleistung \( \Delta N \)

\begin{displaymath} \Delta N=I^{2}\cdot R=\frac{N^{2}\cdot R}{U^{2}}.\end{displaymath}

Der relative Verlust \( \Delta N/N=\frac{N\cdot R}{U^{2}} \) ist umgekehrt proportional zur verwendeten Spannung U. Beim Transformator werden jeweils zwei Spulen magnetisch durch ein gemeinsames Eisenjoch gekoppelt, so daß der von der Primärspule L1 erzeugte Magnetfluß die Sekundärspule L2vollständig durchsetzt (und umgekehrt). Um Wirbelströme zu vermeiden wird das geschlossene Joch aus ferromagnetischen Lamellen zusammengesetzt und durch Schrauben zusammengepreßt.

Im unbelasteten Transformator fließt in der Sekundärspule kein Strom und es gilt bei einer Eingangsspannung \( U_{1}=U_{0}\cdot \cos \omega t \) die Selbstinduktionsspannung

\begin{displaymath} U_{ind}=-L_{1}\frac{dI_{1}}{dt}=-N_{1}\frac{d\Phi }{dt}.\end{displaymath}

Wegen der Kirchhoffschen Regel gilt U1+Uind=0 und damit \( I_{1}=U_{0}/(\omega L)\cdot \sin \omega t \).Die mittlere Leistung \( \bar{N} \) ist Null. Die Spannung an der Sekundärspule ist durch

\begin{displaymath} U_{2}=-N_{2}\frac{d\Phi }{dt}\end{displaymath}

gegeben und damit

\begin{displaymath} \frac{U_{2}}{U_{1}}=-\frac{N_{2}}{N_{1}}.\end{displaymath}

Das Minuszeichen zeigt an, daß bei gleichsinniger Wicklung von L1 und L2 die Sekundärspannung im unbelasteten Fall gegenüber der Primärspannung um 180 Grad phasenverschoben ist.

Im belasteten Fall führt auch die Sekundärspule einen Strom. Der vom Strom I2 erzeugte magnetische Fluß \( \Phi _{2} \)muß dem vom Primärstrom I1 erzeugten Magnetfluß \( \Phi _{1} \) hinzuaddiert werden: \( \Phi =\Phi _{1}+\Phi _{2} \).

Bei Belastung des Transformators durch einen komplexen Widerstand Z gelten die gekoppelten Gleichungen

mit den Lösungen:

Da \( U_{2}=I_{2}\cdot Z \) ist gilt beim belasteten Transformator das Spannungsverhältnis

\begin{displaymath} \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{L_{12}}{L_{1}-i\omega (L_{12}^{2}-L_{1}L_{2})/Z}.\end{displaymath}

Bei idealer Kopplung ist \( L_{1}:L_{2}:L_{12}=N_{1}^{2}\, :\, N_{2}^{2}\, :\, N_{1}N_{2} \)und damit U2/U1=N2/N1,unabhängig vom Lastwiderstand Z.

Bei einer nichtidealen Kopplung \( k=L_{12}/\sqrt{L_{1}\cdot L_{2}}\, <1 \)sinkt das Spannungsverhältnis mit wachsendem Sekundärstrom.

Bei einer rein induktiven Last \( Z=i\omega L \) ist das Spannungsverhältnis reell (180 Grad Phasenverschiebung)

\begin{displaymath} \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{L_{12}/L_{1}}{1+(L_{2}/L)(1-k^{2})}.\end{displaymath}

Das Spannungsverhältnis ist kleiner als im idealen Fall (k=1). Bei einer kapazitiven Last \( Z=\frac{-i}{\omega C} \) kann das Spannungsverhältnis

\begin{displaymath} \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{L_{12}/L_{1}}{1-\omega ^{2}CL_{2}(1-k^{2})}\end{displaymath}

auch größer als im idealen Fall werden. Insbesondere tritt bei

\begin{displaymath} \omega _{R}=\sqrt{\frac{1}{CL_{2}(1-k^{2})}}\end{displaymath}

eine Resonanz auf, bei der das Spannungsverhälnis unendlich groß wird.

Elektromagnetische Schwingungen

Wird ein Kondensator C über eine Spule L entladen, so werden elektrische Schwingungen beobachtet die sich in völliger Analogie zu mechanischen Schwingungen etwa eines Federpendels beschreiben lassen. Die elektrische Energie eines Kondensators ist

\begin{displaymath} W_{el}=\frac{1}{2}\frac{1}{C}\cdot Q^{2}\end{displaymath}

und kann als das Analog der potentiellen Energie \( W_{pot}=\frac{1}{2}k\cdot x^{2} \)betrachtet werden. Die magnetische Energie der stromdurchflossenen Spule ist

\begin{displaymath} W_{mag}=\frac{1}{2}L\cdot I^{2}=\frac{1}{2}L\cdot \dot{Q}^{2}\end{displaymath}

und kann als Analogon der kinetischen Energie \( W_{kin}=\frac{1}{2}m\cdot \dot{x}^{2} \)betrachtet werden. Die Gesamtenergie W=Wel+Wmag ist erhalten. Durch die Ableitung von

\begin{displaymath} W=\frac{1}{2}L\cdot \dot{Q}^{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{C}Q^{2}\end{displaymath}

erhält man

\begin{displaymath} L\cdot \ddot{Q}+\frac{1}{C}Q=0.\end{displaymath}

Die Lösung dieser Gleichung ist \( Q=Q_{0}\cdot \cos \omega t \) wenn wir den Kondensator mit der Ladung Q(t=0)=Q0 entladen. Die Resonanzfrequenz ist \( \omega =\sqrt{1/(LC)} \).

Dieselbe DGL (``Kräftegleichgewicht'') kann auch aus der Maschenregel ermittelt werden

\begin{displaymath} U_{ind}=U_{C}+I\cdot R\end{displaymath}

wenn sich zusätzlich ein Ohmscher Widerstand im Schwingkreis befindet. Diese Gleichung kann geschrieben werden als

\begin{displaymath} L\cdot \ddot{Q}+R\cdot \dot{Q}+\frac{1}{C}\cdot Q=0.\end{displaymath}

Dies ist die homogene Form der bereits diskutierten Gleichung für die erzwungenen Schwingungen. Die Lösung kann durch den komplexen Ansatz

\begin{displaymath} Q=Q_{0}\cdot e^{i(\omega t-\phi )}\end{displaymath}

erhalten werden. Die quadratische Gleichung

\begin{displaymath} -\omega ^{2}\cdot L+i\omega R+1/C=0\end{displaymath}

hat die Lösungen

\begin{displaymath} \omega _{1,2}=i\cdot \frac{R}{2L}\pm \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}.}\end{displaymath}

In der Abwesenheit von Dämpfung (R=0) führt dies wie schon gesehen auf ungedämpfte Schwingungen mit der Frequenz \( \omega _{0}=\sqrt{1/(LC)}. \)Solange der Radikand größer als Null ist gibt es oszillatorische Lösungen

\begin{displaymath} Q(t)=A\cdot e^{-\lambda t}e^{i\omega _{R}t}+B\cdot e^{-\lambda t}e^{-i\omega _{R}t}\end{displaymath}

mit \( \lambda =\frac{R}{2L} \) und \( \omega _{R}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}} \).Die weiteren Fälle, wie der aperiodische Grenzfall oder der Kriechfall, treten wie im mechanischen Analogon auf.


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7/6/1998