EXPERIMENTALPHYSIK I
Mechanik und Wärme
Universität Mainz
12. Vorlesung am 4.12.97

Prof. Dietrich Harrach
Übungen: Dr. Frank Maas

WS 97/98

Beispiele für die Wirkung der Scheinkräfte im rotierenden System

Wenn wir
$\bm{a}_{c}=-2(\bm{\omega}\times\bm{v}')=2(\bm{v}'\times\bm{\omega})$
als die Coriolisbeschleunigung und
$\bm{a}_{zf}=-(\bm{\omega}\times(\bm{\omega}\times\bm{r}))= (\bm{\omega}\times(\bm{r}\times\bm{\omega})=\omega^{2}\cdot \bm{r}$
als die Zentrifugalbeschleunigung einführen, so kann man damit die mechanischen Probleme im rotierenden System durch Berücksichtigung der Scheinkräfte lösen:
$m\cdot\bm{a}'=\bm{F}+\bm{F}_{c}+\bm{F}_{zf}$

BEISPIELE

Wenn ein Körper im rotierenden System ruht, d.h. $\bm{v}'=0$, so wirkt auf ihn nur die äußere Kraft - z.B. die Gravitationskraft - und die Zentrifugalkraft. Da $\bm{a}'=0$ muß für die Kräfte gelten:
$\bm{F}_{g}+\bm{F}_{zf}=0$

Für ein rotierendes Pendel muß in der Gleichgewichtslage gelten:
$-m\cdot g\cdot\tan \alpha+m\cdot\omega^{2}\cdot (d+\ell\cdot\sin\alpha)$
Bei festem d ist die Gleichgewichtslage nur von $\omega$ und der Pendellänge $\ell$ abhängig.

In einem auf einer Kreisbahn um die Erde kreisenden Satelliten erfahren die Passagiere scheinbar die ''Schwerelosigkeit''. Die Schwerkraft wird im System O' durch die Zentrifugalkraft kompensiert. Die Corioliskraft ist klein, da $\omega=\sqrt{GM/r^{3}}=\sqrt{gR^{2}/r^{3}}\approx 0.00122 s^{-1}$ (100 km Höhe,T=1.4 h) klein ist.
Mit $v'\approx 10 m/s$ ist $a_{c}\approx 0.024 m/s^{2}~<<~g$.

Die Schwingungsebene eines Pendels auf dem Drehtisch bleibt erhalten. Da das Drehmoment immer senkrecht auf der instantanen Pendelebene steht gibt es in O kein zusätzliches Drehmoment.
In einem Labor auf der sich drehenden Erde dreht sich die Schwingungsebene des Foucault-Pendels mit einer Winkelgeschwindigkeit $\omega=2\pi/T\cdot \sin\phi$ im Uhrzeigersinn (wie die Sonne).
In Mainz $\phi=50^{o}$ ist dies $\frac{\Delta\alpha}{\Delta t}= 11.49^{0}/h$.

Die Behauptung, die man in manchen Büchern findet, daß dies durch die ''Beibehaltung der Schwingungsebene im Raum'' zu erklären sei, ist bestenfalls auf die Pole anwendbar.
Eine Ableitung findet sich bei C.Gerthsen oder in Landau-Lifschitz Bd.I.
In seiner Schwingungsebene verschiebt sich das Pendel um $\Delta s=u\cdot\Delta t$ . Senkrecht dazu wirkt die Coriolisbeschleunigung a_c und verursacht eine dazu senkrechte Verschiebung

$\Delta s'=\frac{a_{c}'}{2}\cdot\Delta t^{2}=\frac{2u\cdot\omega\sin\phi}{2}\cdot\Delta t^{2}$

Der Drehwinkel der Schwingungsebene ist:
$\Delta\alpha=\frac{\Delta s'}{\Delta s}=\omega\sin\phi\cdot\Delta t$ oder
$\frac{\Delta \alpha}{\Delta t}=\omega\sin\phi$

Weiteres Beispiel (Meteorologen!!): Zyklone (Tiefdruckgebiete) werden durch Luftströmungen (Winde) ausgeglichen. Auf der Nordhalbkugel werden die Strömungen gegen den Uhrzeigersinn abgelenkt. Dies bedeutet Westwind bei Islandtief.
Die Lorentz-Transformation

Aus Beobachtung von Unregelmäßigkeiten bei der Bedeckung der Jupitermonde schloß Olaf Römer bereits 1676 die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit, und lieferte eine erste Abschätzung
c=300 000 km/s.

Die Anwendung der Galilei-Transformation auf die Emission und Absorption von Lichtimpulsen aus einem mit $\bm{u}$ relativ zum Beobachter bewegten Bezugssystem würde eine Lichtgeschwindigkeit von $\bm{c}=\bm{c}'+\bm{u}$ erwarten lassen.
Messungen von Michelson und Morley (1881) zeigten jedoch die Konstanz von c unabhängig vom Bezugssystem d.h. von der Relativgeschwindigkeit $\bm{u}$.

Die Ausbreitung eines Lichtsignals zu Zeit t=0 vom Ursprung des Systems O geschieht auf einer Kugel die durch
x²+y²+z²=c²t²
beschrieben wird.
Ein Beobachter in O', das zur Zeit t=0 gerade den gleichen Ursprung wie O hatte, dagegen findet:
x'²+y'²+z'²=c²t'²
Wobei beide die empirische Tatsache c=c' verwenden.

Welche Transformationsgleichungen gelten?
Die Relativgeschwindigkeit möge $\bm{u}=(u_{x},0,0)$ sein.
Wir nehmen versuchsweise eine einfache Modifikation der Galilei-Transformation an:
x'=k(x-u_xt)
mit $k\approx 1$ wenn u_x<<c
y'=y und z'=z

Für die Transformation von t machen wir versuchsweise den linearen Ansatz:
t'=a(t-bx).
mit $a\approx 1$ und $b\approx 0$ wenn u_x<<c

Einsetzen in x'²+y'²+z'²=c²t'² liefert:

$k^{2}\cdot(x-u_{x}t)^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}a^{2}(t-bx)^{2}$

Wenn dies mit x²+y²+z²=c²t² übereinstimmen soll, dann muß gelten:
k²-c²a²b²=1
k²u_x-c²a²b=0
a²c²-k²u_x²=c²

Dieses Gleichungssystem hat die Lösung:
$a=k=\frac{1}{\sqrt{1-u_{x}^{2}/c^{2}}}$ und b=u_x/c²

Damit ergeben sich für den Spezialfall $\bm{u}=(u_{x},0,0)$die Transformationsgleichungen:

$x'=\frac{x-u_{x}t}{\sqrt{1-u_{x}^{2}/c^{2}}}$

y'=y   ;   z'=z

$t'=\frac{t-x\cdot u_{x}/c^{2}}{\sqrt{1-u_{x}^{2}/c^{2}}}$

Dies ist die sogenannte Lorentz-Transformation,
die 1890 von Hendrik Lorentz erstmals formuliert wurde.
Mit den Abkürzungen
$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-u_{x}^{2}/c^{2}}}$
$\beta=u_{x}/c$
erhalten wir
$x'=\gamma(x-u_{x}t)$
y'=y ; z'=z
$t'=\gamma(t-u_{x}x/c^{2})$
beziehungsweise die Umkehrtransformation:
$x=\gamma(x'+u_{x}t')$
y=y' ; z=z'
$t=\gamma(t'+x'\cdot u_{x}/c^{2})$.
Diese Transformation läßt sich für die Dimensionen x,ct bzw. x',ct' graphisch einfach darstellen.
Die Linie x'=0 entspricht einer Geraden
$ct=x/ \beta$ und ct'=0 entspricht
$ct=x\cdot \beta$.