EXPERIMENTALPHYSIK I
Mechanik und Wärme
Universität Mainz
13. Vorlesung am 10.12.97

Prof. Dietrich Harrach
Übungen: Dr. Frank Maas

WS 97/98

Anwendungen der Lorentz-Transformation

Wenn ein Körper im System O' die Geschwindigkeit
$\bm{v}'=(dx'/dt'~,dy'/dt'~,dz'/dt'~)$ hat, dann ist die in O beobachtete Geschwindigkeit
$\bm{v}=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)$.

Die Differentiale transformieren sich wie:

$dx/dt=dx/dt'\cdot dt'/dt=$
$\gamma(dx'/dt'+u_{x})\gamma(1-u_{x}/c^{2}\cdot dx/dt)$

Auflösen nach dx/dt=v_x ergibt:

$v_{x}=\frac{v_{x}'+u_{x}}{1+v_{x}'u_{x}/c^{2}}$

Ebenso erhält man für die anderen Komponenten:

$v_{y}=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dt'}\frac{dt'}{dt}= \frac{v_{y}'}{\gamma(1+v_{x}u_{x}/c^{2})}$
$v_{z}=\frac{v_{z}'}{\gamma(1+v_{x}u_{x}/c^{2})}$

Wenn sich ein Teilchen in O' mit v_x'=c bewegt, dann beobachtet man in O:
v_x=(c+u_x)/(1+u_x/c)=c
Dies ist die eingangs postulierte Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Längenkontraktion und Zeitdilatation

Beobachten wir einen Gegenstand der Länge
L'=x₂'-x₁' der in O' ruht, dann sind wegen der Transformation
$x'=\gamma(x-u_{x}/c^{2}\cdot t)$die Koordinaten der Endpunkte im System O - bei gleicher Zeit t in O - durch

$x_{2}=x_{2}'/\gamma+u_{x}t$ und $x_{1}=(x_{1}'/\gamma+u_{x}t$

beschrieben. Der Abstand im Sytem O L=x₂-x₂ bei gleicher Zeit t ist dann
$L=L'/\gamma$.
Dies bedeutet, daß ein Gegenstand mit der ''Ruhe-Länge L'', der sich schnell an einem Beobachter vorbei bewegt, um den Faktor $1/\gamma$ verkürzt erscheint. Dieses Phänomen hat die Bezeichnung der Längenkontraktion erhalten.

Ein Zeitabstand $\Delta t'=t_{2}'-t_{1}'$ im System O' am gleichen Ort x' gemessen, erscheint im System O an den Koordinaten
$t_{1}=\gamma(t_{1}'+u_{x}x'/c^{2})$ und $t_{2}=\gamma(t_{2}'+u_{x}x'/c^{2})$.
Damit ist der Zeitunterschied in O:
$\Delta t= t_{2}-t_{1}=\gamma(t_{2}-t_{1})$.
Dieses Phänomen hat die Bezeichnung der Zeitdilatation erhalten.
Die Zeitdilatation kann durch die Beobachtung instabiler Teilchen einfach nachgewiesen werden. Muonen haben in Ruhe eine Lebensdauer von $\tau=2.197\cdot10^{-6}s$. Selbst wenn sie sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegten, wäre ihre Laufstrecke ohne Zeitdilatation nur $\lambda^{\*}=c\cdot\tau=658.6~m$. Durch die Anwendung der Lorentz-Transformation ist ihre Lebensdauer im Labor und damit ihre Laufstrecke jedoch um den Faktor $\gamma$ vergrößert. Mit z.B. $v=0.999\cdot c$ ist $\gamma=22.4$und damit mittlere Laufstrecke $\lambda=\gamma\cdot 0.999 c\cdot\tau=14.7 km$.

Stöße

Wechselwirken zwei Massenpunkte nur eine endliche Zeit und in einem endlichen Bereich, so nennt man diesen Vorgang einen Stoßprozeß.
Die beiden Stoßpartner stellen ein abgeschlossenes System dar.
Es gilt daher unter allen Umständen der früher abgeleitete Erhaltungssatz für den Gesamtimpuls bzw. dier Konstanz der Schwerpunktgeschwindigkeit.

Wenn während des Stoßes nur Zentralkräfte wirken ist sowohl der innere als auch der äußere Drehimpuls erhalten

Bei einem Stoß sprechen wir von den Geschwindigkeiten oder Impulsen der in den Wechselwirkungsbereich einlaufenden Teilchen und auslaufenden Teilchen.
Diese werden auch die asymptotischen Geschwindigkeiten genannt, wenn der Abstand der Teilchen groß gegenüber der Reichweite der Wechselwirkung ist.

Die Reichweite ist von der Natur der Kräfte abhängig.
Bei Gravitationsfeldern und elektrischen Feldern kann keine Reichweite angegeben werden. Bei Stößen von Atomen, Molekülen und elastischer Körper fällt die Reichweite mehr oder weniger mit der Summe der Radien der Stoßpartner zusammen.

Stoßprozesse sind besonders geeignet um die Eigenschaften der Wechselwirkungen im Mikrobereich zu erforschen

Wenn die die im Stoß wirkenden Kräfte konservativ sind, dann gilt die Erhaltung der mechanischen Energie.
Wenn die Stoßpartner auch noch unverändert aus dem Stoprozeß hervorgehen, so nennt man dies einen elastischen Stöß. Dafür gilt neben der Impulserhaltung

$\bm{p}_{1}+\bm{p}_{2}=\bm{p}'_{1}+\bm{p }'_{2}$

auch die Energieerhaltung

m₁v₁²+m₂v₂²=m₁v'₁²+₂v'₂²
bzw.
$\frac{p^{2_{1}}}{2m_{1}}+\frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}=\frac{{p'}_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{{p'}^{2}_{2}}{2m_{2}}$

Diese Gleichungen lassen sich durch die Transformation in das Schwerpunktsystem einfach lösen.
Wenn wir die Schwerpunktsgeschwindigkeit

$\dot{\bm{R}}=\frac{1}{m_{1}+m_{2}}(\bm{p}_{1}+\bm{p}_{2})$

und die Relativgeschwindigkeit

$\bm{v}_{r}=\bm{v}_{2}-\bm{v}_{1}$

einführen, dann erhalten wir durch die Galileitransformation
$\bm{u}_{i}=\bm{v}_{i}-\dot{\bm{R}}$
$\bm{u}'_{i}=\bm{v}'_{i}-\dot{\bm{R}}$
die neuen Gleichungen für die Impulse
$m_{1}\bm{u}_{1}+m_{2}\bm{u}_{2}=m_{1}\bm{u}'_{1}+m_{2}\bm{u}'_{2}=0$

Die Summe der Impulse im Schwerpunktsystem ist per Definition Null, $\bm{u}_{1}$ und $\bm{u}_{2}$ sind parallel und entgegengesetzt.

Die Relativgeschwindigkeit bleibt bei der Galileitransformation erhalten
$\bm{v}_{r}=\bm{v}_{2}-\bm{v_{1}}=\bm{u}_{2}-\bm{u_{1}}$
Zusammen mit $m_{1}\bm{u}_{1}+m_{2}\bm{u}_{2}=0$ ergibt sich:

$\bm{u}_{2}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\bm{v}_{r}$ und $\bm{u}_{1}=-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\bm{v}_{r}$

Für die kinetische Energie erhalten wir
$E_{kin}=\frac{m_{1}+m_{2}}{2}\dot{{R}}^{2}+\frac{\mu}{2}{v}_{r}^{2}=E'_{kin}=\frac{m_{1}+m_{2}}{2}\dot{{R}}^{2}+\frac{\mu}{2}{v'}_{r}^{2}$
mit
$\bm{v}'_{r}=\bm{v}'_{2}-\bm{v}'_{1}=\bm{u}'_{2}-\bm{u}'_{1}$

Bei elastische Stösse die kinetische Energie im Schwerpunktsystem i.e. die kinetische Energie der Relativbewegung erhalten

$E_{r}=\frac{\mu}{2}v_{r}^{2}=E'_{r}=\frac{\mu}{2}v_{r}^{2}$.

Bei elastischen Stößen bleibt deshalb der Betrag der Relativgeschwindigkeit der Stoßpartner erhalten.
Die einzige Wirkung des elastischen Stoßes ist die Änderung der Richtung der Relativgeschwindigkeit.
Die Beträge der Geschwindigkeiten im Schwerpunktsystem sind konstant
$u'_{1}=u_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{r}$
$u'_{2}=u_{2}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{r}$

Wenn wir die Richtung der Relativgeschwindigkeit des einlaufenden Systems $\bm{v}_{2}-\bm{v}_{1}$ als z-Achse wählen, dann ist die Richtung der Relativgeschwindigkeit des auslaufenden Systems durch einen Azimuthwinkel $\phi$ und einen Polarwinkel $\Theta$, den sogenannten Streuwinkel im Schwerpunktsystem, gegeben.

Jede Richtung $0<\phi<360^{o}$ und $0<\Theta<180^{o}$ ist mit den Erhaltungssätzen für Impuls und Energie verträglich.

Die durch die Relativgeschwindigkeit vor und nach den Stoß definierte Ebene bezeichnet man als die Streuebene.
Bei gegebenem Schwerpunktsstreuwinkel $\Theta$ und Wahl der (x,z)-Ebene als Streuebene haben die auslaufenden Geschwindigkeiten $\bm{u'}$ die Komponenten

$u'_{2,z}=u_{2}\cos\Theta$
$u'_{2,x}=u_{2}\sin\Theta$

und entsprechend

$u'_{1,z}=-u_{1}\cos\Theta$
$u'_{1,x}=-u_{1}\sin\Theta$

Man kann hier auch die Komponeneten $u'_{\parallel}$ und $u'_{\perp}$ einführen

Die Rücktransformation in das Laborsystem $\bm{v}=\bm{u}+\dot{\bm{R}}$ liefert die Geschwindigkeiten $\bm{v}'_{1}$ und $\bm{v}'_{2}$ im Laborsystem.

Ruhendes Target
Wenn im Labor ein Teilchen - z.B. Teilchen 1 - vor dem Stoß in Ruhe ist $\bm{v}_{1}=0$ dann ist die Schwerpunktsgeschwindigkeit
$\dot{\bm{R}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\bm{v_{2}}$
parallel zur Relativgeschwindigkeit des einlaufenden Systems
$\bm{v}_{r}=\bm{v}_{2}$.

Die Geschwindigkeit des gestreuten Projektils im Labor ist dann:
$v'_{2,z}=v'_{2}{}_{\parallel}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}{v_{2}}+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{2}\cos\Theta$

$v'_{2,x}=v'_{2}{}_{\perp}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{2}\sin\Theta$

Für das angestoßene Targetteilchen erhalten wir:
v'_1,z=
$\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}{v_{2}}-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{2}\cos\Theta= \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{2}(1-\cos\Theta)$

$v'_{1,x}=-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{2}\sin\Theta$

Hieraus können die Laborstreuwinkel $\theta_{1}$ und $\theta_{2}$ bestimmt werden:
$\tan\theta_{2}=\frac{v'_{2,x}}{v'_{2,z}}$

$\tan\theta_{1}=\frac{v'_{1,x}}{v'_{1,z}}$